\subsection{逆映射}\label{subsec:1-9}

先看图 \ref{fig:1-24} 所示的映射。

容易看出，这两个映射分别是集合 $A$ 到集合 $B$ 上、集合 $B$ 到集合 $A$ 上的一一映射。
在映射 $f: A \to B$ 作用下的象及原象，分别是在映射 $g: B \to A$ 作用下的原象及象。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}{8cm}
    \centering
    \input{pic/1-24-1}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}{8cm}
    \centering
    \input{pic/1-24-2}
    \end{minipage}
    \caption{}\label{fig:1-24}
\end{figure}

一般地，设 $f: A \to B$ 是集合 $A$ 到集合 $B$ 上的一一映射，如果对于 $B$ 中的
每一个元素 $b$，使 $b$ 在 $A$ 中的原象 $a$ 和它对应，这样所得的映射叫做
映射 $f: A \to B$ 的\textbf{逆映射}，记作
$$f^{-1}: B \to A \text{。}$$

从逆映射的定义可以知道，映射 $f: A \to B$ 也是映射 $f^{-1}: B \to A$ 的
逆映射，而且 $f^{-1}: B \to A$ 也是一一映射（从 $B$ 到 $A$ 上的一一映射）。

这样，图 \ref{fig:1-24} 中的映射 $g: B \to A$ 就是 $f: A \to B$ 的逆映射。

现在我们来求第 \ref{subsec:1-8} 节例子中的一一映射的逆映射。

在 \hyperref[li:1-8-1]{（1）} 中的一一映射 $f: X \to Y$ 是使 $Y$ 中的元素 $y = 2x + 1$ 和 $X$ 中的元素 $x$ 对应。
由 $y = 2x + 1$，得 $x = \dfrac{y -1}{2}$。于是逆映射 $f^{-1}: Y \to X$ 就使 $X$ 中的元素
$x = \dfrac{y-1}{2}$ 和 $Y$ 中的元素 $y$对应。

在 \hyperref[li:1-8-4]{（4）} 中的一一映射 $f': \buji{R^-} \to \buji{R^-}$ 是使象集合 $\buji{R^-}$ 中的元素 $y=x^2$
和原象集合 $\buji{R^-}$ 中的元素 $x$ 对应。由 $y = x^2$，得 $x = \sqrt{y}$（$x = -\sqrt{y} \notin \buji{R^-}$，舍去）。
于是逆映射 $(f')^{-1}: \buji{R^-} \to \buji{R^-}$ 就使 $f'$ 的原象集合 $\buji{R^-}$ 中的元素
$x = \sqrt{y}$ 和 $f'$ 的象集合中的元素 $y$ 对应。

应该注意：只有对于一一映射，我们才研究它的逆映射。

\lianxi

\begin{xiaotis}
\xiaoti{求下列一一映射 $f: A \to B$ 的逆映射：}

\begin{xiaoxiaotis}
    \xiaoxiaoti{$A = \{1,2,3,4,5,\dots\}$，$B = \{1, \dfrac 1 2, \dfrac 1 3, \dfrac 1 4, \dfrac 1 5, \dots \}$，
    一一映射 $f: A \to B$ 使 $B$ 中的元素 $y = \dfrac 1 x$ 和 $A$ 中的元素 $x$ 对应；}

    \xiaoxiaoti{$A = \{1,2,3,4,5,\dots\}$，$B = \{2,5,10,17,26,\dots\}$，
    一一映射 $f: A \to B$ 使 $B$ 中的元素 $y = x^2 + 1$ 和 $A$ 中的元素 $x$ 对应；}

    \xiaoxiaoti{$A = \{1,2,3,4,5,\dots\}$，$B = \{2, \dfrac 3 2, \dfrac 4 3, \dfrac 5 4, \dfrac 6 5, \dots \}$，
    一一映射 $f: A \to B$ 使 $B$ 中的元素 $y = \dfrac {x + 1} x$ 和 $A$ 中的元素 $x$ 对应。}
    \vspace{0.5em}

\end{xiaoxiaotis}

\xiaoti{为什么第 1.8 节例 （2），（3）中的映射没有逆映射？}

\xiaoti{举出集合 $A$ 到集合 $B$ 上的一一映射的例子，并求出它的逆映射。}

\end{xiaotis}
